Geometri

Geometrisk begrunnelse for den trigonometriske identiteten $ arctan x + arctan frac {1-x} {1 + x} = frac pi 4 $

Geometric Justification Trigonometric Identity Arctan X Arctan Frac Frac Pi 4



Løsning:

skriv inn bildebeskrivelse her

Som svar på det første spørsmålet har jeg prøvd å laste opp et bilde, men uten hell, så jeg må beskrive det i stedet.



  1. Tegn en likebeint trekant OAC med A på x-aksen og C på y-aksen, og O som opprinnelse.



  2. Velg et punkt P på linjen AC, med Q som foten på vinkelrett fra P til OA



  3. La B være punktet på OA slik at Q er midtpunktet til BA

  4. La OQ være 1 enhet lang, og PQ være av lengden $ x $, i så fall har BQ og AQ også denne lengden

  5. Vi har nå $ tan POQ = x $ og $ tan OCB = frac {1-x} {1+x} $



  6. Det gjenstår ganske enkelt å vise at vinkel BCP = vinkel POQ, som er lett nok siden trekant CPB er rettvinklet og CP har lengde $ sqrt2 $

Jeg håper dette er klart nok


Redigere. Her er en enklere trigonograf det også renere , i den forstand at den unngår hjelpeproportjoner til fordel for å relatere elementer i identiteten mer direkte. Det krever derfor mindre (eller kanskje Nei ) forklaring.

skriv inn bildebeskrivelse her

$$ 45^ circ = alpha + beta = operatorname {atan} frac {x} {1} + operatorname {atan} frac {1-x} {1 + x} qquad (0 leq x leq 1) $$

Interessant nok har dette diagrammet den samme grunnstrukturen som mine vinkelsum- og -differens -trigonografer, så vel som den for $ p sin theta + q cos theta $.

Mitt forrige svar:

skriv inn bildebeskrivelse her

$$ tan theta = frac {x} {1} qquad tan phi = frac {| overline {XY} |} {| overline {XZ} |} = frac {| overline { XP} |} {| overline {XQ} |} = frac {1-x} {1 + x} $$

$$ innebærer qquad operatorname {atan} x + operatorname {atan} frac {1-x} {1 + x} = theta + phi = frac { pi} {4} $$


Her er et forsøk på å adressere @Michaels ønske om en løsning som behandler de to vinklene symmetrisk.

Det er basert på dette foreløpige resultatet:

skriv inn bildebeskrivelse her

Lemma. Hvis$ Q $er ortosenteret for akutt$ triangel ABC $, deretter$$ tan angle ABQ = frac {| overline {AQ} |} {| overline {BC} |} $$

(Bevis er igjen som en øvelse for leseren. Tips: Legg merke til de kongruente vinklene på$ A $og$ C $.)

Med det kan vi konstruere følgende:

skriv inn bildebeskrivelse her

$$ tan alpha = frac {x sqrt {2}} { sqrt {2}} = x qquad tan beta = frac {1-x} {1+x} quad impliserer quad operatorname {atan} x+ operatorname {atan} frac {1-x} {1+x} = alpha+ beta = frac { pi} {4} $$